Nýlega rakst ég fyrir algjöra tilviljun á stutta grein í Menntamálum. Þar er birtur listi yfir íslenskar reikningsbækur á tímabilinu frá 1746 til 1915. Jafnframt er skorað á lesendur að halda gömlum kennslubókum til haga.
Þessi ágæta gamla grein varð af einhverjum ástæðum til þess, að ég tók mig til og setti saman eftirfarandi færslu. Hún fjallar um prentuð rit frá lærdómsöld (það er frá 1550 til 1750) um efni, sem flokkast undir stærðfræðilegar lærdómslistir. Ritin eru flest frumsamin af Íslendingum, annaðhvort á íslensku eða latínu, en sum eru þýdd. Flest styðjast þau þó eflaust við erlendar fyrirmyndir.
Í fyrri færslu var talsvert rætt um stærðfræðilegar lærdómslistir og vísa ég í þá umfjöllun til frekari skilningsauka. Til samanburðar má jafnframt benda á tvær ritgerðir um heimildir Íslendinga á lærdómsöld um stjörnufræði, náttúruspeki og heimsmynd, önnur er frá 2006, en hin frá 2010 (sjá einnig þessa færslu).
„Á tveimur vængjum svífum vér til himins, talnafræðinni og rúmfræðinni.“ Textinn er úr þriðju dispútatíu Magnúsar Arasonar um tunglið frá 1710, en myndin úr verkinu Primi mobilis tabulae Andreae Argoli frá 1667. Hún sýnir Aþenu svífa um á Pegasusi og lýsa stjarnfræðilegum fyrirbærum (phaenomena). Þetta er þekkt minni úr sögu stærðfræðilegra lærdómslista.
Þau verk, sem hér verða rædd, eru þrenns konar: Dispútatíur á latínu, reikningsbækur á íslensku (og öðrum málum) og íslensk almanök af ýmsu tagi. Ef einhver veit um fleiri slík rit frá þessum tíma, þætti mér vænt um að fá fréttir af því.
Dispútatíur Magnúsar Arasonar
Dispútatíur Magnúsar Arasonar um tunglið frá árunum 1708 til 1710 eru allar í fjórðungsbroti. Samanlagt eru þær 15 stuttir kaflar á 22 síðum.
Í annarri dispútatíunni fjallar Magnús um fornar og nýjar hugmyndir um hugsanlegan lofthjúp á tunglinu og heldur því fram, að þar sé ekkert andrúmsloft. Í því sambandi bendir hann á, að það sé „fyrir löngu alkunna af stjörnum, sem hverfa ef þær ganga á bak við tunglið og koma fram undan aftur og sjást skýrt í stjörnukíki bæði undan og eftir fast við tungljaðarinn“. Síðan ræðir Magnús fram og aftur um þá staðreynd, að á hverjum tíma, nema við tunglmyrkva, sé rúmlega helmingur tunglsins upplýstur af sólarljósi. Ástæðan sé sú, að sólin sé stærri en tunglið.
Þriðja og síðasta dispútatían fjallar um atriði, er meðal annars tengjast heimsmynd stjörnufræðinnar. Eftir skáldlegan formála um ágæti talnafræði og rúmfræði beitir Magnús aðferð Aristarkosar frá Samos til að finna fjarlægðina til sólar. Síðan notar hann þriðja lögmál Keplers til að finna fjarlægð hinna reikistjarnanna frá miðpunkti sólkerfisins.
Magnús lýkur þriðju dispútatíunni með með því að ræða um lengdarákvarðanir. Hann tekur fram, að venjulega sé lengdarmunur staða fundinn með því að fylgjast með atburðum á himni, sem hægt sé að tímasetja nákvæmlega á báðum stöðum. Til dæmis megi nota sól- og tunglmyrkva í þessu sambandi og ekki síður myrkva Júpíterstungla. Hann heldur því síðan fram, að einnig megi hafa gagn „af kvartilaskiptum tunglsins og hvenær birta fellur á auðþekkt kennileiti á yfirborði þess“.
Fjallað er um dispútatíur Magnúsar um tunglið í frekari smáatriðum í grein Einars H. Guðmundssonar frá 2008 (bls. 18-19).
Beltaskipting jarðarinnar
Fyrirlestur Magnúsar Arasonar, Um belti jarðar, var haldinn árið 1707 og fjallaði, eins og nafnið gefur til kynna, um það hvernig gangur sólar á hvelfingunni ákvarðar hin svokölluðu loftslagsbelti. Beltin eru tekin fyrir hvert af öðru og eiginleikum þeirra lýst í nokkrum smáatriðum, meðal annars veðurfari og hvaða áhrif sólin hefur á líf þeirra, sem þar búa.
Til vinstri er forsíðan á dispútatíu Magnúsar Arasonar, Um belti jarðar, frá 1707. - Til hægri er forsíðan á bæklingi hans frá 1710 með erfiljóðinu um Ole Rømer.
Minningarljóð um Ole Rømer
Erfiljóð Magnúsar um fyrrum kennara sinn og fyrirmynd, Ole Rømer, er haft með í þessari upptalningu þar sem það fjallar að verulegu leyti um afrek Rømers á sviði stærðfræðilegra lærdómslista. Meðal annars er ort um ákvörðun hans á endanlegum hraða ljóssins, hönnun og smíði stjarnmælingatækja og líkön hans af hreyfingu himintungla.
Einfaldar þríhyrningamælingar
Á dögum Magnúsar Arasonar voru þríhyrningamælingar og kortagerð eitt af virkustu sviðum hagnýttrar stærðfræði og eins og áður sagði, varð hann með tímanum fyrsti íslenski landmælingamaðurinn. Önnur af tveimur dispútatíum hans frá 1710 fjallar um þau fræði frá nokkuð sérsökum sjónarhóli (hin var þriðja dispútatía hans um tunglið).
Forsíðan á dispútatíu Magnúsar, Um einfaldari hjálpartæki í flatarmálsfræði, frá því í desember 1710.
Í upphafi dispútatíunnar, Um einfaldari hjálpartæki í flatarmálsfræði, segir Magnús að tilgangur hennar sé, að sýna „hvernig hægt er með prikum einum að kanna fjarlægðir tiltekinna staða, eins þótt þeir séu óaðgengilegir, einnig breidd fljóta og stærð hvaða horna sem vera skal á víðavangi. Og prikin gera sama gagn og alls kyns skrautlegt og rándýrt verkfæraprjál sem afla verður með meiri tímasóun og fyrirhöfn“. Aðferð Magnúsar byggist á flatarmálsfræði og dispútatían er því myndskreytt. Sjá nánari umfjöllun hér (bls. 22).
Opna úr dispútatíu Magnúsar, Um einfaldari hjálpartæki í flatarmálsfræði, frá 1710. Ekki var algengt í Kaupmannahöfn þess tíma, að menn birtu teikningar í prentuðum háskólaritgerðum, eins og hér er gert. Til dæmis eru engar myndir í öðrum dispútatíum Magnúsar.
Þetta var síðasta verkið sem Magnús samdi í Kaupmannahöfn og skömmu síðar gerðist hann „verkfræðingur“ (ingenieur) í mannvirkjasveit danska hersins.
Stærðfræðibækur á lærdómsöld
Lítið er um það vitað, hversu mikið vald Íslendingar á lærdómsöld höfðu á grunngreinum stærðfræðinnar, talnafræði og flatarmálsfræði. Þekking alþýðunnar hefur eflaust verið takmörkuð, og sennilega voru það nær eingöngu lærðir menn, sem eitthvað kunnu í þessum fræðum.
Vitað er að Brynjólfur Sveinsson biskup átti gamla útgáfu af Frumatriðum Evklíðs með útlistunum þeirra Campanusar frá Novara og Bartolomeos Zamberti (kannski þessa útgáfu?). Jafnframt átti hann talnafræði eftir Pierre de la Ramée með viðbótum og útskýringum Lazarusar Schöner (þessa útgáfu?). Ekki er vitað, hvort efni úr þessum bókum biskups var notað við kennslu í Skálholtsskóla á hans dögum (sjá nánar hér, bls. 207-10.)
Líklegt má teljast, að þau prentuðu rit um talnafræði og flatarmálsfræði, sem Íslendingar þekktu á lærdómsöld, hafi einkum verið kennslubækur, sem notaðar voru í Danmörku á þeim tíma.
Danski stærðfræðingurinn Sophus A. Christensen telur í bók sinni, Matematikens udvikling i Danmark og Norge i det XVIII. Aarhundrede, að hin áhrifamikla og langlífa Talnafræði eftir Gemma Frisius, sem kom fyrst út 1540 og í ótal útgáfum síðar, hafi verið sá grunnur, sem reikningskennsla í Danmörku byggðist á næstu tvær aldirnar eða svo. Í flatarmálsfræðinni var það hins vegar andi Evklíðs, sem sveif yfir vötnunum. Þegar Danir fóru sjálfir að skrifa kennslubækur í stærðfræði á fyrri hluta sautjándu aldar (fyrst á latínu, síðar á dönsku) höfðu þeir því frumatriði Evklíðs og talnafræði Frísíusar sem fyrirmyndir.
Eina danska kennslubókin í stærðfræði, sem vitað er með vissu, að hafi verið þekkt hér á landi á þessum tíma, er Arithmetica Danica (1649) eftir prófessor Jørgen From. From var kennari þeirra Gísla Þorlákssonar biskups á Hólum og nafna hans Gísla Einarssonar, sem var fyrsti konungsskipaði kennarinn í stærðfræðilegum lærdómslistum á Íslandi. Bókin var til í Skálholti og full ástæða er til að ætla, að Gísli Einarsson hafi notað hana við kennslu sína þar. Einnig má nefna, að í ævisögu sinni segir Skúli Magnússon landfógeti frá því að faðir hans, séra Magnús Einarsson, hafi samið handrit að reikningsbók, sem sniðin var eftir bók Froms.
Til vinstri er forsíðan á Arithmetica Danica, kennslubók Froms frá 1649. - Til hægri er forsíðan á fyrstu prentuðu reikningsbókinni á íslensku, Lítið ágrip um þær fjórar species í reikningskonstinni, frá 1746.
Fyrsta og reyndar eina kennslubókin í stærðfræði, sem kom út á íslensku á lærdómsöld, var lítið 14 síðna reikningskver, Lítið ágrip um þær fjórar species í reikningskonstinni, sem Halldór Brynjólfsson biskup gaf út árið 1746. Eins og nafnið gefur til kynna, er þarna fjallað um tölur og einföldustu reikniaðgerðirnar („fjórar species“), það er samlagningu, frádrátt, margföldun og deilingu. Einnig er rætt um helstu mælieiningar og gjaldmiðla.
Eins og segir á forsíðunni, er kverið byggt á Talnafræði enska lærdómsmannsins Edwards Hatton, sem kom í nokkrum útgáfum. Halldór notar þó aðeins fyrsta hluta bókarinnar, umskrifar hann og aðlagar að íslenskum aðstæðum. Ljóst er að bók Hattons er skrifuð fyrir víðan hóp lesenda, en „þýðing“ Halldórs er fyrst og fremst ætluð bændum og börnum. Engar fréttir hef ég haft af því, hvernig kveri Halldórs var tekið hér á landi, eða hvort það var einhvers staðar notað við reikningskennslu.
Til vinstri er mynd af Edward Hatton frá árinu 1711. - Hægra megin er málverk frá 1746 af Halldóri Brynjólfssyni Hólabiskupi.
Næsta íslenska kennslubókin í stærðfræði kom ekki út fyrr en 1780, eftir að þýsk-danska upplýsingin hafði borist til landsins. Um þá bók og önnur íslensk stærðfræðirit má lesa í greinum Kristínar Bjarnadóttur frá 2007 og 2013. Í annarri grein frá 2007 gefur Kristín yfirlit yfir stærðfræðimenntun á Íslandi í gegnum aldirnar.
Almanök
Í titli elstu íslensku rímbókarinnar, sem varðveist hefur, Calendarium - íslenskt rím, svo menn mættu vita hvað tímum ársins líður, með því hér eru ekki árleg almanök (Hólum 1597), leynist ekki aðeins einföld skilgreining á hugtakinu rím, heldur er þar einnig gefið til kynna, að um sé að ræða svokallað eilífðarrím eða ævarandi tímatal (calendarium perpetuum). Slíkt almanak má nota árum saman með því að fylgja sérstökum reglum, sem fjallað er um í seinni hluta bókarinnar.
Hér á landi var nær eingöngu notast við eilífðarrím fram til ársins 1837, þegar fyrsta árlega almanakið fyrir Ísland kom út í Kaupmannahöfn. Fram að þeim tíma mun þó stundum hafa verið stuðst við dönsk almanök. Árið 1684 þýddu nokkrir íslenskir Hafnarstúdentar til dæmis árlegt almanak eftir Bagge Wandel á íslensku. Það kom þó ekki að fullum notum, enda var það reiknað fyrir hnattstöðu Kaupmannahafnar. Ekkert framhald varð því á þeirri útgáfustarfsemi.
Rímbækur Hólastóls
Hólabiskuparnir Arngrímur Jónsson (til vinstri) og Guðbrandur Þorláksson (til hægri)
Til vinstri: Forsíða rímbókarinnar frá 1597: Calendarium - íslenskt rím, svo menn mættu vita hvað tímum ársins líður, með því hér eru ekki árleg almanök. Með lítilli útskýringu, og nokkru fleira sem ei er óþarflegt að vita. - Til hægri: Síða úr rímbókinni frá 1611: Calendarium - rím á íslensku. Svo menn megi vita hvað tímum ársins líður.
Sérstök ástæða er til að nefna, að aftan við eilífðarrímið í Calendarium - íslenskt rím hafa þeir Hólamenn sett töflu um göngu sólar: Nær sól kemur upp og gengur undir norðanlands, víðast þar sem ekki hamla fjöll né hálsar. Reikningarnir miðast við hnattstöðu Hóla og líklegast er, að Guðbrandur sé höfundurinn. Þarna er á ferðinni fyrsti íslenski vísirinn að árlegu almanaki, sem vitað er um.
Almanak Gísla Einarssonar
Vorið 1649 var Gísli Einarsson skipaður kennari í stærðfræðilegum lærdómslistum við Skálholtsskóla. Af ástæðum, sem mér eru ekki kunnar, er hann kallaður Gisloff Eivertsen í skipunarbréfinu (bréf nr. VIII). (Sjá meira um Gísla hér.)
Sennilega hefur Gísli hafið kennslustörf strax um haustið, en skömmu áður en hann fór frá Kaupmannahöfn reiknaði hann danskt almanak fyrir árið 1650 og undirbjó prentun þess í tveimur mismunandi útgáfum. Annað er venjulegt 24 síðna árlegt almanak í mjög smáu („sextán blaða“) broti: Almanach Paa det Aar [...] MDCL, reiknað fyrir hnattstöðu Kaupmannahafnar.
Forsíðan á hinu danska almanaki Gísla Einarssonar fyrir árið 1650: Almanach Paa det Aar Effter vor Frelseris Jesu Christi Fødsel M. DC. L. Beregnit effter Planeternes Lob, Til Elevatioem, poli, gr. 55. min. 43. under hvilcken Kiobenhaffn ligger, Aff Gislao Enario Islando, Mathematum Studioso.
Hitt er svokallað skrif-almanak, 56 síður í áttblöðungsbroti með sama dagatali og hið fyrra, en með stórum eyðum á milli daga, sem ætlaðar eru fyrir athugasemdir og minnispunkta eigandans: Schriff Calender, Paa det Aar effter vor Herris Jesu Christi Fødsel M. DC. L. Beregnet Aff Gislao Enario Islando.
Um almanak Gísla Einarssonar, sem og ýmis önnur almanök, er nánar fjallað í grein Einars H. Guðmundssonar frá 1998 (bls. 198-202). Þar má einnig lesa um athuganir Gísla á halastjörnu, sem birtist á himni veturinn 1652-53, og hann fylgdist með frá Skálholti.
Gísli ritaði Henrik Bjelke höfuðsmanni um þessar athuganir sínar, sennilega til að koma þeim á framfæri í Danmörku. Bréfið er því miður glatað, en niðurstöður mælinganna eru til í endursögn Peders H. Resen sagnfræðings (hugsanlega úr lagi færðar; sjá nánar á bls. 210-20 í áðurnefndri grein frá 1998).
Halastjarnan, sem Gísli Einarsson fylgdist með í Skálholti, eins og hún leit út frá Regensburg í Þýskalandi um jólin 1652 (24. til 26. des. skv. nýja stíl). Þá var hún nálægt sjöstirninu (sem „snýr öfugt“ á teikningunum vinstra megin). Staðsetning halastjörnunnar á myndunum virðist ekki mjög nákvæm, eins og sjá má með samanburði við mæliniðurstöður hins merka stjörnufræðings Heveliusar.
Gíslarím og Þórðarrím
Árið 1671 gaf Gísli Þorláksson Hólabiskup út ritið Enchiridion - það er handbókarkorn, sem inniheldur annars vegar rím og veraldlegan fróðleik og hins vegar guðfræðilegt efni. Rímbókin er eilífðarím, sem síðan hefur verið við hann kennt og kallað Gíslarím. Gísli er reyndar ekki höfundur verksins, heldur Þórður Þorláksson bróðir hans, sem þá var nýkominn úr mikilli námsferð um Evrópu.
Efri myndin sýnir Þórð Þorláksson Skálholtsbiskup ásamt konu sinni, Guðríði Gísladóttur, á málverki frá 1697. - Á neðri myndinni er eldri bróðir hans, Gísli Þorláksson Hólabiskup, ásamt eiginkonu sinni Ragnheiði Jónsdóttur (til vinstri). Tvær fyrri eiginkonur hans, Gróa Þorleifsdóttir og Ingibjörg Benediktsdóttir eru einnig með á þessu málverki frá 1684.
Árið 1692 gaf Þórður, nú orðinn biskup í Skálholti, handbókina út á nýjan leik, lítillega breytta, og nefndi Calendarium Perpetuum - Ævarande Tijmatal. Sú bók er jafnan kölluð Þórðarrím. Í viðaukum er meðal annars fjallað um rímfræði, kvartil tunglsins, föruhnetti og dýrahringinn auk læknislistar með stjörnuspekilegu ívafi. Reyndar hafði Þórður í millitíðinni gefið út Rímtal íslenskt árið 1687, agnarsmátt verk, sem bundið var aftan við Eitt lítið bænakver eftir J. G. Olearius.
Til vinstri er mynd af forsíðu Gíslaríms (1671): Calendarium eður íslenskt rím svo menn megi vita hvað tímum ársins líður, með því hér eru ekki árleg almanök: Með lítilli útskýringu, og nokkru fleira sem ei er óþarflegt að vita. - Hægra megin er mynd af forsíðu Þórðarríms (1692): Calendarium perpetuum - Ævarandi tímatal. Eður rím íslenskt til að vita hvað ársins tíðum líður.
Það vekur athygli við lestur stjörnufræðikaflanna í þessum rímbókum, að heimsmyndin sem lögð er til grundvallar er jarðmiðjukenning síðmiðalda. Röð föruhnattanna er hin sama og hjá Ptólemaíosi og upplýsingarnar um stærð þeirra eru upphaflega komnar úr stjörnufræðibók Sakróboskós frá því um 1230.
Taflan fyrir ofan teikninguna er úr Gíslarími. Hún sýnir röð föruhnattanna samkvæmt jarðmiðjukenningu síðmiðalda. Tunglið er neðst (þ.e. næst jörðu) og Satúrnus efst. - Teikningin er hins vegar úr Þórðarrími og á að útskýra fasa tunglsins og mismunandi afstöðu þess til sólar.
Ekki er auðvelt að skilja, hvers vegna Þórður Þorláksson, einn lærðasti maður landsins og andlegur leiðtogi þjóðarinnar, taldi rétt að halda hinni fornu jarðmiðjukenningu að löndum sínum í lok sautjándu aldar. Það var greinilega gert af ráðnum hug, því heimsmyndin er hin sama í Þórðarrími árið 1692 og í Gíslarími rúmum tuttugu árum áður. Sennilega er rétttrúarstefnu og tíðaranda um að kenna.
Þegar tekið er tillit til þess, að Þórður hafði numið við marga helstu háskóla Evrópu, þar sem náttúruspeki Descartes var farin að hafa veruleg áhrif, er ljóst að hann hefur ekki aðeins þekkt vel til jarðmiðjukenningar Tychos Brahe, heldur einnig til sólmiðjukenningar Kóperníkusar. Þess sér þó engin merki í rímbókum hans.
Hvað sem líður þekkingu lærðra manna á þessum tíma, átti heil öld eftir að líða, þar til íslensk alþýða gat fyrst lesið um nýjungar eins og heimsmynd Kóperníkusar á móðurmálinu. Það gerðist með fræðsluritum Magnúsar Stephensen í lok átjándu aldar og þýddum verkum eins og Náttúruhistoríu Büschings og Náttúruskoðara Suhms.
Rímbækur Jóns Árnasonar
Eftir að nýi stíll (gregoríska tímatalið) tók við af þeim gamla (júlíanska tímatalinu) hérlendis, árið 1700 (sjá nánar hér), skapaðist þörf fyrir nýtt eilífðarrím. Það var Jón Árnason, biskup í Skálholti, sem brást við þeirri áskorun, enda var hann vel að sér í stærðfræðilegum lærdómslistum.
Árið 1707 gaf Jón út gregoríska rímbók, Calendarium Gregorianum, og 1739 bætti hann um betur og sendi frá sér fingrarím, Dactylismus ecclesiasticus eður Fingrarím, aðlagað að hinum nýja stíl. Hin forna fingrarímslist hefur nú að mestu lagst af, en þeim lesendum, sem vilja kynna sér hana nánar, má benda á ágæta umfjöllun Þorsteins Sæmundssonar frá 1999.
Til vinstri: Forsíðan á eilífðarrími Jóns Árnasonar frá 1707: Calendarium Gregorianum. Eður sá nýi stíll, uppá hvern Gregorius, 13di páfi i Róm, fann Anno 1582, fyrir hjálp og liðveislu Aloysiusar Lilius stjörnumeistara. Hvar með og fylgja íslensk misseraskipti, efter því sem þau hafa vereð brúkuð á tveimur næst fyrrverandi 100 ára öldum. - Til hægri er forsíðan á fingrarími Jóns frá 1739: Dactylismus ecclesiasticus eður Fingrarím, viðvíkjandi kirkjuársins tímum. Hvert, að afdregnum þeim rómversku tötrum gamla stíls, hefur sæmilegan íslenskan búning fengið, lagaðan eftir tímatali hinu nýja. Fylgir og með ný aðferð að finna íslensk misseraskipti.
Eins og þegar hefur komið fram, hófst reglubundin útgáfa árlegra almanaka fyrir Ísland ekki fyrr en 1837. Í grein Þorgerðar Sigurgeirsdóttur frá 1969 má lesa um aðdragandann að þeim tímamótum og jafnframt um sögu íslenska almanaksins frá þeim tíma.