Gegn tengingu við daglegt líf - „The Expanded Relevance Paradox“

"The majority of the tasks in the Swedish classroom were 'word problems' and involved contexts from everyday life, more or less relevant to the students. Despite the teacher's very public commitment to demonstrating the relevance of the content, the students strongly questioned its utility. The students in the Shanghai classroom experienced teaching and tasks that focused on abstract mathematics, yet the students appeared quite certain of the immediate and future relevance of the content." (Clarke, 2006, bls. 221)

Svo ritaði David Clarke í bókinni Making Connections: Comparing Mathematics Classrooms Around The World um þá þversögn sem samanburðarrannsókn hans og Katja Svan á gildum nemenda í Svíþjóð og Kína leiddi í ljós. Þrátt fyrir að í sænskum kennslustundum væri mikil áhersla lögð á að tengja stærðfræðidæmin við raunveruleikann þá höfðu nemendur miklar efasemdir um notagildi þess að geta leyst slík viðfangsefni í daglegu lífi sínu. Á móti var nemendum í Kína einungis sýnd abstrakt stærðfræðileg dæmi en þar voru nemendur mjög vissir um að hæfni í að geta leyst slík viðfangsefni hefði notagildi fyrir þau í daglegu lífi.

Ekki hefur verið sýnt fram á hvað veldur þessari áhugaverðu þversögn, en það er áhugavert að velta henni fyrir sér í samhengi við niðurstöður alþjóðlegra mælikvarða á námsárangur nemenda eins og PISA. Í fyrri færslu minni um margföldun neikvæðra talna má líta á þversögnina sem rök gegn Leið 2 sem ég lýsti að væri stundum farin. Raunar fékk ég ábendingar um heimildir þar sem beinlínis er mælt gegn því að hagnýtingar við „raunveruleikann” séu notaðar sem innblástur (við þetta efnisatriði sér í lagi), heldur séu strúktúral útskýringar heppilegri, eins og til dæmis margföldun með -1 sem speglun um núll á talnalínu (sjá t.d. Meaning in Mathematics Education eftir Kilpatrick, Hoyles og Skovsmose, undirkafli á bls. 32-38).

Ég enda þessa stuttu færslu á „skírn“ Svan á þessu fyrirbæri sem þversögnin felst í:

"Svan has christened this the 'Expanded Relevance Paradox' [...] and means, by this term, to refer to the paradoxical character of application-oriented mathematics teaching associated with subjective irrelevance and pure mathematics-oriented mathematics teaching associated with subjective relevance." (Clarke, 2006, bls. 221)

Birt í Óflokkað

Margföldun neikvæðra talna

Nýlega var ég að hjálpa nemanda sem var að glíma við hugtakið neikvæðar tölur. Eitt atriði sem var óljóst var af hverju neikvæð tala margfölduð við aðra neikvæða tölu gefur jákvæða tölu. Ég tók saman nokkrar leiðir sem skýra af hverju það er tilfellið.

Leið 1 - Margföldunartafla

Skoðum þessa margföldunartöflu:

Þetta er eins og venjuleg margföldunartafla, nema það er búið að hliðra fókusnum út fyrir jákvæðu tölurnar til að hafa neikvæðu tölurnar með. Sjá má ákveðið mynstur í fjórðungi jákvæðu talnanna. Hvernig ætli mynstrin haldi áfram? Hér ætti að leyfa nemendum að hugsa sjálfir. Þeir geta ýmist byrjað á að fylla út til vinstri eða niður frá jákvæða fjórðungnum sem gefinn er. Eftir smástund hafa eflaust margir fengið þetta út:

Nú sjáum við að þeir hlutar margföldunartöflunnar sem sýna jákvæðar tölur margfaldaðar við neikvæðar tölur gefa neikvæðar tölur. Þá höfum við eitthvað til að byggja á fyrir seinasta hlutann. Hvernig heldur mynstrið áfram að virka núna? Tökum þetta aha-augnablik ekki frá nemendum:

Til þess að mynstur reikningslistarinnar haldist þarf margföldunartafla neikvæðu talnanna að innihalda einungis jákvæðar tölur.

Athugasemd: Ég er hrifinn af þessari leið vegna þess að hún gerir það svo ljóst hvernig það er skynsamlegt, til þess að mynstur stærðfræðinnar haldist, að neikvæð tala sinnum neikvæð tala gefi jákvæða tölu.

Leið 2 - Gróði eða skuld

Sögulega þá komu neikvæðar tölur fyrst að gagni til þess að tákna skuld. Ef bankareikningurinn þinn segir -5 kr. þá þýðir það að þú ert 5 krónur í skuld. Ef hann segir hins vegar 5 kr. þá má hugsa það þannig að þú sért 5 krónur í gróða.

Skoðum nú peningastöðu Jóns Jónssonar.

Reikningur 1: 3 kr.
Reikningur 2: 3 kr.

Við höfum hér tvo reikninga sem báðir hafa 3 kr. í gróða. Við táknum því heildarupphæðina:

2*3 = 6 kr.

Andri, vinur hans Jóns, hefur einnig tvo reikninga. Þeir eru báðir 3 kr. í skuld.

Reikningur 1: -3 kr.
Reikningur 2: -3 kr.

Heildarupphæðin er því:

2*(-3) = -6 kr.

Það meikar sens því Andri hefur tvær skuldir sem saman gefa eina stærri skuld.

Nú kemur bankinn og rukkar Andra um árgjald upp á 3 kr. hvorn reikning fyrir sig. Það þýðir að tekin er tvisvar í burtu upphæð upp á 3 kr. Heildarbreytingin á upphæð Andra er því:

(-2)*3 = -6 kr.

Nú á Andri enn meiri skuldir. Núna er reikningsstaða hans þessi:

Reikningur 1: -6 kr.
Reikningur 2: -6 kr.
Heildarupphæð: -12 kr.

Nú kemur Jón honum til bjargar og ætlar að borga 3 kr. inn á báða reikninga hjá Andra. Með öðrum orðum þá ætlar hann að taka í burtu hluta af skuldinni hans Andra. Hvort ætli Andri græði eða tapi á því? Athugum hvernig við táknum það að taka í burtu skuld:

(-2)*(-3) = 6 kr.

Hann tekur alls í burtu 6 kr. af skuldinni hans svo Andri græðir 6 kr. Hann endar því þar sem hann byrjaði:

Reikningur 1: -3 kr.
Reikningur 2: -3 kr.
Heildarupphæð: -6 kr.

Þessar niðurstöður má svo draga saman í töflu.

Aðgerð Skýring
2 * 3 = 6 græða þrjár krónur tvisvar er það sama og að græða sex krónur.
2 * (–3) = –6 þurfa að borga tvisvar þriggja króna skuld jafngildir að þurfa að borga sex króna skuld.
(–2) * 3 = –6 taka tvisvar í burtu þrjár krónur er það sama og að taka í burtu sex krónur.
(–2) * (–3) = 6 taka tvisvar í burtu þriggja króna skuld er það sama og að græða sex krónur.

Athugasemd: Gallinn við þessa leið er að hún missir ákveðinn formleika, vegna þess að tala þarf út frá peningalegum hugtökum fremur en stærðfræðilegum. Hún gefur þó dæmi um tilfelli þar sem neikvæðar tölur eru notaðar í raunverulegu samhengi.


Leið 3 - Stærðfræðileg röksemdafærsla

Formleg leið til þess að rökstyðja þetta er á þennan veg:

Veljum tvær jákvæðar tölur, a og b, og samsvarandi neikvæðar tölur, -a og -b. Við viljum komast að því hvert margfeldi neikvæðu talnanna er: (-a)*(-b).

Hér er hugmynd: Athugum stæðuna (-a)*(b+(-b)).

Þar sem b+(-b) = 0 þá vitum við vitum að:

(-a)*(b+(-b)) = (-a)*0 = 0

Af hverju vorum við nú að þessu? Sjáum til. Förum nú aðra leið til að einfalda þessa stæðu: Notum dreifiregluna til þess að margfalda inn í svigann. Þá fáum við:

(-a)*(b+(-b)) = (-a)*b + (-a)*(-b)

Notum nú þá staðreynd sem við sýndum, að stæðan er jafnt og 0. Með öðrum orðum:

(-a)*b + (-a)*(-b) = 0

Drögum nú frá fyrri liðinn, (-a)*b, beggja vegna jafnaðarmerkisins:

(-a)*b - (-a)*b + (-a)*(-b) = 0 - (-a)*b

Vegna þess að (-a)*b - (-a)*b = -(a*b) + a*b = 0, þá núllast sá liður út í vinstri hliðinni og eftir stendur:

(-a)*(-b) = -(-a)*b.

Einföldum hægri hliðina og fáum loks út:

(-a)*(-b) = a*b

Þar sem a og b eru báðar jákvæðar tölur, þá er margfeldi þeirra einnig jákvæð tala. Þar af leiðandi er margfeldið (-a)*(-b) jákvæð tala.

Með öðrum orðum: Eigi dreifireglan að gilda fyrir neikvæðar tölur, þá verður margfeldi tveggja neikvæðra talna að vera jákvæð tala.

Athugasemd: Áður en farið er yfir í almenna tilfellið þá má fara í gegnum þessa röksemdafærslu með völdum gildum á a og b, til dæmis a=2 og b=3.


Þessi listi er engan veginn tæmandi fyrir þær leiðir sem hægt er að fara til að túlka merkingu margföldunar með neikvæðum tölum. Á vef Dr. Math má finna ítarlegri lista yfir leiðir sem fara má við að kanna þetta dularfulla en þó rökrétta mynstur. Einnig eru til hjálpargögn á vef GeoGebra.

Birt í Óflokkað

QUINT verkefnið - Quality in Nordic Teaching

Í dag hóf ég formlega doktorsnám mitt í menntavísindum við Háskóla Íslands. Þar verð ég næstu þrjú ár hluti af rannsóknarteymi Íslands í norrænni rannsókn á gæðum kennslu á Norðurlöndum sem ber heitið Quality in Nordic Teaching (QUINT) og er leitt af Háskólanum í Osló. Verkefnið felst í að safna gögnum úr kennslustundum, meðal annars með hljóð- og myndbandsupptökum, og greina með fyrirfram ákveðnum greiningarramma til að mæla gæði kennslu og bera saman milli Norðurlandanna. Niðurstöður verða birtar á formi greina í alþjóðlegum vísindatímaritum á sviði menntarannsókna.

Stefnt er að því að myndbandsupptökurnar verði varðveittar í eins konar vídeóbanka og notaðar í fræðsluskyni í kennaramenntun við Háskóla Íslands. Í kjölfar rannsóknarinnar er þátttakendum einnig boðið að taka þátt í starfsþróunarnámskeiði þar sem myndböndin verða höfð til grundvallar.

Þetta er ákaflega metnaðarfullt og spennandi verkefni sem ég hlakka til að takast á við.

Birt í Óflokkað

GeoGebra hugtakakort

Á dögunum var GeoGebra vefurinn uppfærður með svokölluðu hugtakakorti (e. topic map) sem vill svo til að ég tók þátt í að hanna og þróa með þeim síðastliðið sumar. Um er að ræða gagnvirkt kort eða net af stærðfræðihugtökum sem nota má til að finna GeoGebra verkefni af ýmsu tagi.

Hugmyndin með verkefninu var að auðvelda aðgengi að þeim aragrúa verkefna sem finna má á vef GeoGebra sem notendur, bæði kennarar og námsefnishöfundar um allan heim, hafa búið til. Auk þess sýnir kortið tengingar milli stærðfræðilegra hugtaka á sjónrænan og lifandi hátt.

Ég skrifaði grein um dvöl mína í Linz í Austurríki þar sem ég vann við verkefnið með vefteymi GeoGebra sem birt var í nýjasta tölublaði Flatarmála, tímarits Flatar samtaka stærðfræðikennara. Greinina læt ég fylgja með þessari færslu.


Stærðfræðiforritið GeoGebra ætti að vera flestum stærðfræðikennurum vel kunnugt því auk þess að hafa verið til á íslensku í meira en áratug var haldin norræn ráðstefna um forritið í Reykjavík á haustmánuðum 2017. Raunar er ekki lengur um að ræða eitt forrit sem fólk hleður niður á tölvuna sína. Þó sú klassíska útgáfuna standi vissulega enn til boða þá hefur GeoGebra í auknum mæli verið að færa sig yfir í virkni gegnum vefinn sem og að gefa út smáforrit fyrir spjaldtölvur og snjallsíma, til dæmis þar sem unnið er með stærðfræðileg form í auknum veruleika (e. augmented reality). Í þessari grein ætla ég að tala um þessar nýju víddir í þróun forritsins, hvernig ég fékk að kynnast þeim gegnum þróunarverkefni sem ég vann fyrir GeoGebra í höfuðstöðvum þeirra í Austurríki síðasta sumar og loks velta fyrir mér hvert stefnir í notkun tækni í stærðfræðinámi.

Fyrr á þessu ári fór í loftið ný vefsíða GeoGebra. Nú geta notendur með GeoGebra reikning tengst öðrum notendum og stofnað hópa, ekki ólíkt því sem hægt er að gera á Facebook. Hópana geta kennarar notað til dæmis til samvinnu og til að deila efni. Efnið getur til dæmis verið GeoGebra skjöl frá öðrum námsefnishöfundum, frumsamið efni eða efni sem er þýtt af öðrum tungumálum gegnum þýðingarham GeoGebra.

Á vef GeoGebra má nú finna yfir eina milljón viðfanga (e. materials) með stærðfræðilegu efni. Þessi viðföng eru allt frá einföldum gagnvirkum æfingum yfir í fullgerða námsleiki sem búnir eru til með hjálp GeoGebra. Hluti af vinnu minni síðasta sumar var að vinna að þróun myndrænnar yfirsýnar fyrir notendur til að sjá megi þetta gríðarlega magn viðfanga eftir efnisatriðum og sjá til þess að tengingarnar milli efnisatriða séu skýrar.

Þeir sem fóru á GeoGebra ráðstefnuna í Reykjavík síðasta haust muna eflaust einhverjir eftir fyrirlestrinum frá Markus Hohenwarter, stofnanda GeoGebra. Þar kynnti hann meðal annars til sögunnar prófaham GeoGebra (e. exam mode) sem þá hafði nýlega verið tekinn í gagnið og er nú verið að kynna og innleiða í námsmati víða um heim. Hugmyndin er sú að í prófi geti nemendur nýtt sér þau tæki og tól sem GeoGebra býður upp á í umhverfi sem kennari getur stýrt. Hann getur lokað á önnur forrit á meðan á prófi stendur með því að fá upplýsingar ef nemandi yfirgefur prófgluggann. Markmiðið er að nemendur séu frekar beðnir um að skýra skilning sinn á eiginleikum stærðfræðilegra hugtaka fremur en að framleiða rétt svör við lokuðum spurningum.

Í sama fyrirlestri sýndi Markus nýtt smáforrit með auknum veruleika: GeoGebra Augmented Reality. Með forritinu er hægt að varpa þrívíðum formum inn í skynjun fólks á umhverfinu. Þannig er til dæmis hægt að labba um í sínusbylgju eða skoða sig um í Sierpinski þríhyrningum. Ég mæli með að leita uppi myndbönd með leitarstrengnum „GeoGebra augmented reality“ á YouTube því sjón er sögu ríkari. Smáforritið er aðeins fáanlegt fyrir iOS stýrikerfi eins og keyra til dæmis á iPad og iPhone.

Önnur GeoGebra forrit eru fáanleg fyrir öll algengustu stýrikerfi í spjaldtölvum, snjallsímum og fartölvum. GeoGebra Classic er það sem flestir þekkja en nú eru þrjú önnur forrit sem innihalda valda eiginleika úr klassísku útgáfunni:

  • GeoGebra Geometry inniheldur sérstaka áherslu á rúmfræði
  • GeoGebra 3D Graphing leyfir notendum að vinna með þrívíð form á skjá
  • GeoGebra Graphic Calculator er svo gamla góða grafíska reiknivélin með öllum þeim viðbótareiginleikum sem GeoGebra býður upp á

Eiginleikar allra þessara forrita virka einnig í vafra.

Á ráðstefnunni í Reykjavík var einnig Tim Brzezinski með fyrirlestur í gegnum Skype. Tim er afkastamikill GeoGebra námsefnishöfundur frá Bandaríkjunum. Ég mæli eindregið með því að skoða efni frá honum á vef GeoGebra. Dæmi um aðra höfunda sem ég held persónulega upp á eru Steve Phelps og Terry Lee Lindenmuth.

Á meðan að á dvöl minni í Austurríki stóð fékk ég að kynnast þeim samheldna hóp fólks, „GeoGebra fjölskyldunni“, sem vinnur að því að veita nemendum og kennurum þetta frábæra tól til að glæða stærðfræðina lífi. Ég var þar í fjórar vikur að vinna að verkefninu mínu í samstarfi við vefteymi Research & Development hluta fyrirtækisins. Það verður spennandi að sjá minn hluta verkefnisins verða sýnilegan í næstu uppfærslu vefsins.

Það eru spennandi tímar framundan í þróun forrita í stærðfræðikennslu, til dæmis í þróun máltækni og tilkomu sýndarveruleikatækni. Ísland ætlar vitaskuld ekki að vera eftirbátur annarra landa í þessum málum og vert er að hugsa út í það hvaða áhrif það kemur til með að hafa á stærðfræðinám og –kennslu. Það er liðin tíð að hægt sé að segja nemendum að í framtíðinni gangi þeir ekki um með reiknivél í vasanum. Nú þegar er auðvelt að skrifa í Google leitargluggann til að láta reikna ýmislegt fyrir sig og fá lausn við einföldum verkefnum. Hversu langt ætli sé í það að ég geti sagt upphátt við símann minn „hver er afleiðan af sin x“ og fengið útskýringar á íslensku? Hvaða þýðingu hefur það fyrir skipulagningu náms og kennslu? Þetta eru spurningar sem mér þykja heillandi og kennarar munu þurfa að glíma við í auknum mæli eftir því sem líður á upplýsingaöldina.

Birt í Óflokkað

Skapandi og krefjandi vinna eða stagl?

Fyrr á þessu ári birtist ritrýnd rannsóknargrein í menntavísindatímaritinu Tímarit um uppeldi og menntun eftir mig og Jónínu Völu Kristinsdóttir, dósent við Menntavísindasvið Háskóla Íslands, sem bar heitið „Upprifjunaráfangar framhaldsskóla í stærðfræði: Skapandi og krefjandi vinna eða stagl?“. Í september síðastliðnum hélt ég erindi á ráðstefnunni Læsi í skapandi skólastarfi sem haldin var í samstarfi Menntamálastofnunar og Miðstöðvar skólaþróunar við Háskólann á Akureyri. Nú má nálgast glærur af erindinu á vef Miðstöðvar skólaþróunar en ég hef ákveðið að láta ágrip af erindinu fylgja þessari færslu:

Í þessari nýju íslensku rannsókn eru könnuð viðhorf framhaldsskólakennara til viðfangsefna er lúta að gagnrýninni og skapandi hugsun í upprifjunaráföngum í stærðfræði. Slík hugsun er mikilvægur hluti þess læsis sem þróa þarf til að geta tekist á við áskoranir 21. aldar þar sem störf munu krefjast útsjónarsemi og sköpunargáfu frekar en hæfni í að fylgja leiðbeiningum á vélrænan hátt. Markmið rannsóknarinnar er að varpa ljósi á viðhorf framhaldsskólakennara til þess hvort viðfangsefni sem beita þarf gagnrýninni og skapandi hugsun við að leysa henti nemendum í upprifjunaráföngum. Einnig er kannað hvort kennarar telji nemendur í þessum áföngum hafa forsendur til að öðlast stærðfræðilega hæfni með því að glíma við slík verkefni. Byggt er á viðtalsrannsókn þar sem fimm kennarar úr þremur framhaldsskólum tóku þátt. Tekin voru viðtöl bæði áður en og eftir að kennararnir lögðu verkefni fyrir nemendur í upprifjunaráföngum, þar sem beita þurfti gagnrýninni og skapandi hugsun við lausnaleit. Í slíkum verkefnum reynir oft á munnlega tjáningu nemenda um stærðfræðileg hugtök og fjölbreytta framsetningu og miðlun upplýsinga. Kennsluáætlanir áfanga voru einnig greindar. Niðurstöðurnar benda til þess að viðhorf kennaranna til slíkra viðfangsefna séu almennt jákvæð. Tillögur komu fram um það hvernig slíkt efni mætti tvinna við annars konar verkefni en skiptar skoðanir voru um sýnidæmi og lausnir í stærðfræðinámi. Í aðalnámskrá framhaldsskóla er lögð áhersla á að nemendur öðlist hæfni í stærðfræðilegri hugsun og röksemdafærslu. Vísbendingar eru um að skortur sé á viðfangsefnum í stærðfræðinámsefni fyrir nemendur í upprifjunaráfanga framhaldsskóla sem reyna á þá hæfni. Hvetja má til aukinnar þróunar námsefnis á íslensku sem byggir á þörfum nemenda og kennara, er í takt við þá tíma sem við lifum á og veitir komandi kynslóðum aukin tækifæri til að öðlast nauðsynlegt stærðfræðilæsi fyrir þátttöku í samfélagi framtíðarinnar.

Áhugasamir lesendur geta nálgast rannsóknargreinina á heild sinni á vef Tímarits um uppeldi og menntun.

Birt í Óflokkað

Stæða - stærðfræðispil

Spilið er spilað með 52 spila stokki. Miðað er við fjóra spilara.

Mannspil (gosi, drottning, kóngur) gilda sem 10. Ás má velja að gildi 1 eða 11 í hverju tilviki fyrir sig. Önnur spil gilda einfaldlega þeirri tölu sem stendur á þeim.

Einn leikmaður hefur leik með því að draga þrjú spil úr stokki og leggja á borðið. Því næst velur hann að framkvæma bæði eina samlagningu og eina margföldun á tölurnar sem spilin tákna með þeim hætti sem hann kýs. Útkoman verður lykillinn að sigri í spilinu og ætti öllum að vera kunn. Spilin eru síðan geymd til hliðar á meðan umferðinni stendur.

Því næst fær hver leikmaður þrjú spil hver úr stokknum til að hafa á hendi. Loks eru þrjú spil lögð á borðið. Markmið leiksins er að smíða stæðu sem hefur gildið sem sett var í upphafi. Leyfilegt er að nota bæði spilin á hendi og spilin í borði við að smíða stæðuna. Nota má samlagningu, margföldun, frádrátt og deilingu.

Leikmaðurinn sem gaf hefur leik. Hann getur nú valið að annað hvort:

  1. Skipta út einu spili á hendi fyrir spil á borði.
  2. Skipta út öllum spilum á hendi fyrir öll spil á borði.

Að því loknu getur leikmaðurinn ákveðið að segja „stæða”. Ef hann kýs að gera það ekki þá heldur leikurinn áfram hringsælis um borðið.

Kjósi leikmaður hins vegar að segja „stæða” þá leikur hann ekki fleiri leiki en leikurinn heldur áfram einn hring, eða þar til röðin hefði annars komið að honum. Aðrir leikmenn halda þá áfram að spila eins og áður en geta nú kosið að segja „pass” með því að banka tvisvar á borðið.

Þegar röðin kemur aftur að leikmanninum sem sagði „stæða” þurfa allir að sýna spilin sín. Þeir sem telja sig hafa náð að smíða stæðu sem jafngildir upphaflega gildinu þurfa að útskýra hugsun sína.

  • Sá leikmaður sem hefur stæðuna heldur þeim spilum sem smíðuðu hana og fær eitt stig fyrir hvert spil sem notað var í henni.
  • Ef enginn hefur stæðuna sigrar sá umferðina sem getur smíðað stæðu sem hefur gildi næst upphafsgildinu.
  • Ef fleiri en einn leikmaður hafa stæðuna þá sigrar sá umferðina sem hefur fleiri fjölda aðgerða í stæðunni sinni. Ef það bregst þá sá sigrar sá sem er kominn með færri stig. Ef það bregst þá fá báðir stig.

Þá er umferðinni lokið og stokkað er á ný án þeirra spila sem leikmaður eða leikmenn halda sem stigum. Leiknum lýkur þegar ekki er lengur hægt að smíða stæður sem passa við upphafsgildið.

Athugið að þessi leikur hefur lítið verið prófaður. Ef þið viljið reyna hann þá hvet ég ykkur til að vera sveigjanleg með reglurnar og prófa ykkur áfram!

Birt í Óflokkað

Geta þrælar lært stærðfræði? Sagan af Sókrates og Menó

Ég hlustaði nýlega á fyrsta þátt hlaðvarpsins Breaking Math sem ber heitið Forbidden Formulas. Þar ræddu þáttastjórnendur og gestur þeirra meðal annars spurninguna hvort stærðfræði sé það óaðgengileg að hún sé í raun afmörkuð til ákveðinnar „elítu“ og af hverju það virðist sem svo hafi að mestu leyti verið í gegnum mannkynssöguna. Þessi umræða leiddi til sögunnar af Sókrates og þrælahaldaranum Menó sem ég segi hér frá með mínum eigin orðum.


Sókrates á í samræðum við þrælahaldarann Menó sem heldur því fram að þrælar geti ekki lært stærðfræði. Það sé einfaldlega ekki í þeirra eðli. Þetta er Sókrates ekki tilbúinn að samþykkja þegjandi og hljóðalaust og kallar á einn af þrælum Menós. Sókrates teiknar ferning í jörðina og segir þrælnum að hver hlið ferningsins sé ein eining. Það þýðir að ferningur Sókratesar hefur flatarmál sem samsvarar einni flatarmálseiningu. Sókrates spyr: „Hvernig er hægt að gera ferning með flatarmál sem samsvarar tveimur flatarmálseiningum?“

Þrællinn, sem hafði enga fræðslu fengið í stærðfræði, gerir það sem flestum myndi eflaust fyrst detta í hug að gera. Hann teiknar nýjan ferning með hliðarlengd sem er tvöföld á við ferning Sókratesar.

Sókrates segir: „Þetta er góð tilraun. En eins og þú sérð kannski þá hefur ferningurinn þinn fjórar flatarmálseiningar en ekki tvær. Ég skal sýna þér hvernig þú tvöfaldar flatarmálið.“ Sókrates teiknar þá ferning með því að nota hornalínur þeirra fjögurra einingaferninga sem ferningur þrælsins samanstendur af.

Sókrates spyr þrælinn: „Sérðu hvernig þessi ferningur er helmingi minni en sá sem þú teiknaðir, þar sem hann sker sérhvern fjögurra einingaferninganna í tvennt?“ Eftir að þrællinn játar því spyr Sókrates hvað það hafi í för með sér. Eftir nokkra umhugsun segir þrællinn sigri hrósandi: „Þá hlýtur flatarmálið að vera tveir!“

Þrællinn skildi hugmyndina að baki ferningi Sókratesar á svo góðan hátt að hann gat útskýrt hana fyrir hinum þrælunum. Þannig sannaði Sókrates að Menó hafði rangt fyrir sér — þrælar gátu svo sannarlega lært stærðfræði.


Athugið að á tímum Sókratesar var ekki til stöðluð mælieining til þess að mæla hliðarlengd ferninganna. Það þýðir að þrællinn þurfti að reiða sig á hverja þá abstrakt mælieiningu sem Sókrates bjó til með sínum ferning. Á tímum Forn-Grikkja var einnig margt á huldu um hliðarlengd ferningsins með flatarmálseininguna tvo þar sem tilvist óræðra talna var ekki viðurkennd. Þetta er þrátt fyrir að setning Pýþagórasar, sem hér svífur yfir vötnum, hafi komið fram heilli öld áður.

Birt í Óflokkað

Gömul saga og ný

It is not knowledge, but the act of learning, not possession but the act of getting there, which grants the greatest enjoyment.

Þessi tilvitnun hefði vel getað komið fram innan kennslufræða á nýliðnum áratugum í anda nýrra áherslna í stærðfræðinámi og -kennslu, þar sem talað er um ferli umfram útkomu og að ferðalagið skipti meira máli en áfangastaðurinn þegar kemur að stærðfræðinámi og þrautalausnum. Ég læt hér restina af tilvitnuninni fylgja með og hvaða merki maður ritaði:

When I have clarified and exhausted a subject, then I turn away from it, in order to go into darkness again. The never-satisfied man is so strange; if he has completed a structure, then it is not in order to dwell in it peacefully, but in order to begin another. I imagine the world conqueror must feel thus, who, after one kingdom is scarcely conquered, stretches out his arms for others.

- Carl Friedrich Gauss (1777–1855)

Birt í Óflokkað

Fyrsta færsla

Halló! Jóhann Örn Sigurjónsson heiti ég og er stærðfræðikennari og tónlistarmaður. Um þessar mundir stunda ég einnig nám í tölvunarfræði. Frá því ég hóf nám við Háskóla Íslands hefur það blundað í mér að setja upp vef til að halda utan um þau hugverk mín sem ég tel að aðrir sem pæla í stærðfræðinámi og -kennslu geti haft gagn og/eða gaman að.

Á þessum vef stefni ég á að deila hugmyndum og hugsjónum, skoðunum og pælingum, bæði almenns og fræðilegs eðlis. Mitt sérsvið er stærðfræðikennsla og stærðfræðinám ásamt grunni í tölvunarfræði og hugbúnaði. Ég hef fengist við ýmislegt á síðustu árum, svo sem kennslu á bæði grunnskóla- og háskólastigi, rannsóknir á upprifjunaráföngum framhaldsskóla, stjórnarsetu í Fleti samtökum stærðfræðikennara, þýðingar á erlendu námsefni í stærðfræði, námsefnisgerð og nú næsta sumar vinnu við stærðfræðihugbúnaðinn GeoGebra á skrifstofu þeirra í Austurríki.

Ég hef mikinn áhuga á þeim fjölbreyttu tólum sem aðstoða við að skapa þá upplifun nemenda að stærðfræði sé sú lifandi og skapandi fræðigrein sem hún raunverulega er. Nýlega tók ég saman tenglasafn með gæðaefni sem er ókeypis á netinu sem ýmist má nota í kennslu, til innblásturs eða starfsþróunar almennt. Tenglasafnið er í þróun svo ég tek öllum tillögum og ábendingum, tja eða „lækum“, fagnandi. Hér fylgir skjáskot ef því hvernig það lítur út í dag:

Bjargir stærðfræðikennarans

Birt í Óflokkað